Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Limita geometrické posloupnosti – MatWiki

Limita geometrické posloupnosti

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

Dokažte, že pro LaTeX: |q|<1 platí: LaTeX: \lim_{n\rightarrow\infty}q^n=0.

Řešení

Podle definice musíme ukázat, že pro libovolné kladné LaTeX: \varepsilon je od určitého LaTeX: k\in\mathbb N nerovnice

LaTeX: |q^n-0|<\varepsilon

splněná pro všechna LaTeX: n>k. Nerovnici budeme postupně upravovat:

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|q^n-0|&<&\varepsilon\\ |q^n|&<&\varepsilon\\|q|^n&<&\varepsilon\\\ln|q|^n&<&\ln\varepsilon\\n\ln|q|&<&\ln\varepsilon\\n&>&\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|} \end{eqnarray*}

Poznámka: protože je LaTeX: |q|<1, je LaTeX: \ln|q|<0. Na posledním řádku jsme nerovnici dělili záporným číslem, a proto se změnil znak nerovnosti.\\

Výraz LaTeX: \frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|} je jednoznačně definovaný a pro zadané LaTeX: \varepsilon>0 ho lze vždy vypočítat. Stačí tedy vzít za LaTeX: k první celé číslo větší než LaTeX: \frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|} a nerovnice LaTeX: |q^n-0|<\varepsilon bude vždy platit. QED