Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Kvadratická rovnice abs(x-7)^2+2abs(x-7)=24 – MatWiki

Kvadratická rovnice abs(x-7)^2+2abs(x-7)=24

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V množině reálných čísel řešte rovnici LaTeX: |x-7|^2+2|x-7|=24.

Řešení

Zavedením substituce LaTeX: a=|x-7|\geq0 změníme danou rovnici na kvadratickou rovnici, kterou převedeme do základního tvaru.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}a^2+2a&=&24\\a^2+2a-24&=&0\end{eqnarray*}

Tuto rovnici vyřešíme například rozkladem na součin.

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}(a+6)(a-4)&=&0\\a_1=-6,& & a_2=4\end{eqnarray*}

Podmínce LaTeX: a\geq0 vyhovuje pouze kořen LaTeX: a_2. Dostáváme tak

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}|x-7|&=&4\\x-7&=&\pm4\\x&=&7\pm4\end{eqnarray*}

Dopočítáme-li kořeny zvlášť, dostaneme

LaTeX: \parstyle\begin{eqnarray*}x_1&=&7+4=11\\x_2&=&7-4=3.\end{eqnarray*}