Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378

Deprecated: preg_replace(): The /e modifier is deprecated, use preg_replace_callback instead in /data/www/virtuals/matematika/html/wiki/includes/Sanitizer.php on line 1378
Kvadratická nerovnice x^2-2x je menší než 0 – MatWiki

Kvadratická nerovnice x^2-2x je menší než 0

Z MatWiki

Přejít na: navigace, hledání

Zadání

V oboru reálných čísel řešte nerovnici

LaTeX: x^2-2x<0.

Řešení

Řešení pomocí nulových bodů a rozdělení reálné osy na intervaly

Graf funkce LaTeX: y=x^2-2x
Funkce LaTeX: x^2-2x je spojitá a proto na intervalech, kde je nenulová, nemůže měnit znaménko. Zjistíme tedy, v kterých bodech nabývá nulové hodnoty, tyto nulové body rozdělí reálnou osu na intervaly, kde funkce nemůže měnit znaménko. Nulové body hledáme jako řešení kvadratické rovnice (Řešené příklady na kvadratické rovnice)
LaTeX: x^2-2x=0.

Zjistíme tak, že levá strana je rovna nule pro LaTeX: x=0 a LaTeX: x=2. Stačí tedy určit, jaké má funkce LaTeX: x^2-2x znaménko na intervalech LaTeX: (-\infty,0), LaTeX: (0,2) a LaTeX: (2,\infty). To provedeme dosazením libovolného bodu z příslušného intervalu:

  • LaTeX: (-\infty,0): Dosadíme např. LaTeX: x=-1: LaTeX: x^2-2x=(-1)^2-2\cdot(-1)=3>0, funkce je na tomto intervalu kladná, LaTeX: x\in(-\infty,0) tedy nesplňují nerovnici ze zadání.
  • LaTeX: (0,2): Dosadíme např. LaTeX: x=1. LaTeX: x^2-2x=1^2-2\cdot1=-1<0, funkce je na tomto intervalu záporná, LaTeX: x\in(0,2) tedy splňují nerovnici ze zadání.
  • LaTeX: (2,\infty): Dosadíme např. LaTeX: x=3: LaTeX: x^2-2x=3^2-2\cdot3=3>0, funkce je na tomto intervalu kladná, LaTeX: x\in(2,\infty) tedy nesplňují nerovnici ze zadání.


Řešením nerovnice jsou všechna LaTeX: x\in(0,2).